Докажите теорему(подробно): В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данной теоремы воспользуемся законом синусов для каждого треугольника, образованного двумя сторонами вписанного четырехугольника и диагональю.

Пусть ABCD - вписанный четырехугольник. Тогда поделим его на два треугольника ABC и ACD дугой AC.

Рассмотрим треугольник ABC. В нем угол BAC = α, угол ABC = β. Тогда угол ACB = 180 - α - β (по свойству треугольника).

Применим закон синусов к треугольнику ABC:

sin(α) = BC / AB
sin(β) = AC / AB
sin(180-α-β) = BC / AC

Однако sin(180-α-β) = sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ = sinαcosβ + cosαcos(90-α) = sinαcosβ + sinαsinα = sin(α+β)

Подставляем выражения для sin(α) и sin(β) из закона синусов:

AC / AB = BC / AC
AC^2 = BC * AB

Аналогично для треугольника ACD получаем:

BD^2 = BC * AB

Сложим эти два равенства:

AC^2 + BD^2 = BC AB + BC AB = 2 BC AB

Теперь вернемся к исходному вписанному четырехугольнику ABCD. Угол BAC = α, угол ACD = ∠DAC = γ. Тогда угол BCD = ∠BAC + ∠DAC = α + γ.

Применим закон синусов к треугольнику BCD:

sin(α) = BC / BD
sin(γ) = DC / BD
sin(α+γ) = BC / DC

Из полученных равенств избавимся от синусов, учитывая равенство AC^2 + BD^2 = 2 BC AB:

DC / BD = BC / AB
DC^2 = BC * AB

Итак, в исходном четырехугольнике ABCD получили DC^2 = BC AB и AC^2 = BC AB, что равносильно равенству между углами BCD и ABC - углы равны. Так как противоположные углы в четырехугольнике также равны и сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то сумма углов противоположных вписанного четырехугольника равна 180 градусам.