Куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре другие вершины - на её основании. длина стороны основания пирамиды равна 2, высота пирамиды - 4. найдите площадь S поверхности куба. в ответ запишите значение выражения 3S.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту боковой грани пирамиды.
Пусть $M$ - середина ребра куба, $\triangle ABD$ - боковая грань пирамиды. Тогда в треугольнике $AMD$, $AM \perp MD$. Так как $AD = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$, то $AM = \frac{AD}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Также $MD = \frac{AB}{2} = 1$, так что по теореме Пифагора получаем $AD^2 = AM^2 + MD^2 \Rightarrow AD = \sqrt{AM^2 + MD^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Тогда высота боковой грани пирамиды равна $h_1 = \sqrt{4^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{64 - 5}{4}} = \frac{\sqrt{59}}{2}$.

Теперь найдем площадь основания пирамиды. Поскольку это правильный четырехугольник, площадь основания равна $A_{\text{осн}} = 2^2 = 4$.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна $S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основания} \cdot h = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$.
Площадь поверхности куба равна $S{\text{куба}} = 6a^2 = 6 \cdot 1^2 = 6$.

Теперь найдем площадь $S$ поверхности куба. Она равна $S = 8 + 4 + 6 = 18$.

Чтобы найти $3S$, нужно умножить площадь поверхности куба на 3: $3S = 3 \cdot 18 = \boxed{54}$.