В треугольник АВС вписана окружность радиуса r , касающаяся сторон АВ и ВС в точках соответственно К и М , а стороны АС в точке Т , причём АТ = r . Найдите площадь треугольника КВМ, если известно, что r = 2 и ТС = 10.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения биссектрис треугольника АВС как О. Поскольку треугольник КОТ подобен треугольнику КВТ, то мы можем найти длину биссектрисы треугольника КВТ.

Поскольку КТ = КО = КС = 2, то КОТ — равнобедренный, следовательно:

ОТ = КТ = 2, AT = 2, СТ = 10, ТС = 10

СТ^2 + ТА^2 = AC^2

10^2 + 2^2 = AC^2

AC = sqrt(104) = 2*sqrt(26)

Также треугольник АМС — прямоугольный. Поэтому:

AM^2 + СМ^2 = AC^2

AM^2 + 4^2 = (2*sqrt(26))^2

AM^2 + 16 = 104

AM = 6

AM = AC - 2r

КВМ — равнобедренный треугольник. Поэтому, площадь треугольника КВМ равна:

S = 2*S(KВС)/3

S = 2 * (S(KВС) - S(КТС)) / 3

S = 2 * (Через формулу площади треугольника через стороны) / 3

S = 2 (21 sqrt(11)) / 3

S = 14 * sqrt(11)

Ответ: S = 14 * sqrt(11)