Основание АС равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найди радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точки касания описанной окружности с продолжениями боковых сторон треугольника как D и E, точку касания вписанной окружности с стороной AB как F, а точку касания вписанной окружности со стороной BC как G.

Поскольку описанная окружность касается боковых сторон треугольника, то AD = AE = 9. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = DC = x, где x - радиус вписанной окружности.

Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADF:
DF^2 + AF^2 = AD^2
DF^2 + x^2 = 9^2
DF^2 + x^2 = 81

Аналогично для треугольника CEG:
EG^2 + CG^2 = CE^2
EG^2 + x^2 = 9^2
EG^2 + x^2 = 81

Также из равенства сторон треугольника DEF:
DF + EG = DE
DF + EG = 12 + 2x

Теперь подставим найденные ранее значения и решим данную систему уравнений:
(81 - x^2) + (81 - x^2) = (12 + 2x)
162 - 2x^2 = 12 + 2x
2x^2 + 2x - 150 = 0
x^2 + x - 75 = 0
(x + 5)(x - 15) = 0

Таким образом, получаем два варианта решения: x = 15 или x = -5. Отбросим отрицательный корень и получаем, что радиус вписанной окружности равен 15.