Периметр треугольника ABC равен 12. Обозначим точки касания сторон BC, AC, AB с вписанной окружностью через A1, B1, C1 соответственно. Известно, что CA1/AB+AB1/BC+BC1/AC=3. Найдите 1/AB+1/BC+1/AC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB=c, BC=a, AC=b - длины сторон треугольника ABC.

Так как периметр треугольника ABC равен 12, то a+b+c=12.

Известно, что CA1/AB+AB1/BC+BC1/AC=3, то есть (b-x)/c + (a-y)/b + (c-z)/a = 3, где x,y,z - длины отрезков A1B1, B1C1, C1A1 соответственно.

Так как A1B1, B1C1 и C1A1 - это радиусы вписанной окружности, то
x = (a+c-b)/2,
y = (a+b-c)/2,
z = (b+c-a)/2.

Подставим x,y,z в уравнение (b-x)/c + (a-y)/b + (c-z)/a = 3:
(b-(a+c-b)/2)/c + (a-(a+b-c)/2)/b + (c-(b+c-a)/2)/a = 3,
(2b-a-c)/2c + (2a-b-c)/2b + (2c-a-b)/2a = 3,
(a+c-2b)/2c + (a+c-2b)/2b + (b+a-2c)/2a = 3,
(a+c-2b)(1/c + 1/b) + (b+a-2c)/2a = 3,
(12-4b)(1/c+1/b) + (b+12-2b)/2b = 3,
(12-4b)(b+c)/bc + (12-b)/2b = 3,
(3-b/3)((a+b)/ab) + (12-b)/2b = 3,
(3-b/3)(12/c) + (12-b)/2b = 3,
36/c - 4b/c + 12/c - b + 12 - b = 6b,
36 - 4b - 12b/c + 12 - b = 6b,
48 - 4b - 12b/c - b = 6b,
48 - b(5 + 12/c) = 6b,
48 = b(6 + 12/c).

Аналогично получаем уравнения для a и c:
48 = a(6 + 12/b),
48 = c(6 + 12/a).

Сложим 3 уравнения:
48 = b(6 + 12/c) + a(6 + 12/b) + c(6 + 12/a),
48 = 6b + 12b/c + 6a + 12a/b + 6c + 12c/a,
48 = 6(a+b+c) + 12(1/a + 1/b + 1/c).

Так как a+b+c=12, то 48=6*12 + 12(1/a + 1/b + 1/c),
48=72+12(1/a + 1/b + 1/c),
12(1/a + 1/b + 1/c) = -24,
1/a + 1/b + 1/c = -2.

Итак, 1/AB + 1/BC + 1/AC = -2.