Вычисли площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 20 см, если известно, что центр окружности, описанной около трапеции, находится на большем основании.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим полупериметр трапеции как ( p ), радиус окружности как ( R ) и высоту трапеции как ( h ).

Так как центр окружности находится на большем основании, то расстояние от центра окружности до всех сторон трапеции одинаково и равно радиусу окружности. Таким образом, мы можем представить данный треугольник:

[
\begin{cases}
R = \frac{h}{2} \
R = \frac{a}{2} \
R = \frac{b - a}{2}
\end{cases}
]

Отсюда получаем ( R = \frac{b}{2} ), где ( b ) - большее основание.

Также, известно что ( R = \frac{ad}{2p} ), где ( d ) - диагональ трапеции. Подставим полученные значения:

[
\frac{b}{2} = \frac{a \sqrt{h^2 + \left( \frac{b - a}{2} \right)^2}}{2p}
]

Также, из условия известно что ( p = \frac{a + b + 2 \sqrt{h^2 + \left( \frac{b - a}{2} \right)^2}}{2} ). Отсюда находим высоту трапеции:

[
h = \sqrt{(p - b)(p - a) + \left( \frac{b - a}{2} \right)^2}
]

Теперь, имея значение высоты трапеции, можно вычислить площадь трапеции по формуле:

[
S = \frac{a + b}{2} \cdot h
]

Подставляя известные значения, получим:

[
\boxed{ S = \frac{32 \sqrt{161}}{3} \approx 80.31 \, см^2 }
]