Точка М делит сторону ВС квадрата АВСД в отношении 3:5, считая от точки В, отрезки АМ и ВД пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника АРД, если площадь треугольника ВРМ равна 27 см (в квадрате )

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны квадрата как а. Тогда точка М делит сторону ВС в отношении 3:5, то есть BC = 3x и CS = 5x.

Так как BC + CS = a, то 3x + 5x = a => x = a/8. Значит, ВМ = 3(a/8) = 3a/8, а MC = 5(a/8) = 5a/8.

Также заметим, что AM = a - 3a/8 = 5a/8, а CV = 5/8.

Теперь посмотрим на треугольник АРД. Мы знаем, что прямая, состоящая из отрезков AM и CD, пересекает точку P. То есть треугольники АРС и ВРС подобны друг другу. Поэтому AR:RC = BM:MC. Значит, AR : (5a/8) = 3a/8 : 5a/8 => AR = 3/5*5a/8 = 3a/8.

Теперь найдем площадь треугольника АРС: S_АРС = (1/2)ARRC = (1/2)(3a/8)(5a/8) = 15a^2/128.

Также нам известно, что S_ВРМ = 27. Так как треугольники ВРМ и ВРС подобны, то отношение их площадей равно квадрату соответствующих сторон: S_ВРС : S_ВРМ = (BM/VM)^2 = (8/3)^2 = 64/9.

То есть S_ВРС = (64/9)S_ВРМ = (64/9)27 = 192/3 = 64.

Итак, теперь мы знаем площадь треугольника АРС и площадь треугольника ВРС. Значит, площадь треугольника АРD равна S_АРС - S_ВРС = 15a^2/128 - 64 = (15a^2 - 8192)/128.

Ответ: (15a^2 - 8192)/128.