Две окружности имеют общий центр О. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные DE и KP, пересекающиеся в точке N. Найдите DN, если DE=10 сама радиус меньшей окружности равен 3 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус меньшей окружности как r1 = 3 см, а радиус большей окружности как r2.

Так как DE и KP - касательные к окружностям, то они перпендикулярны радиусам, проведенным из точки касания. Значит, треугольники DEN и KPO равнобедренные, и поэтому DN = DE = 10 см.

Также из равнобедренности треугольников DEN и KPO следует, что ∠NEO = ∠NOP.

Так как ∠EON = 90 градусов (перпендикулярность касательной и радиуса), то ∠PON = 90 градусов, поскольку ∠NEO = ∠NOP.

Таким образом, треугольники DEN и KPO подобными прямоугольными треугольниками с общим углом NOP. Получим, что r1/r2 = DN/PN

3/r2 = 10/(r2 - 3)

3(r2 - 3) = 10r2

3r2 - 9 = 10r2

9 = 7r2

r2 = 9/7 см

Таким образом, радиус большей окружности r2 = 9/7 см, а DN = 10 см.