Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что все точки прямой а равноудалены от плоскости α.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть прямая а задается уравнением (\vec{r} = \vec{a} + t\vec{v}), где (\vec{v}) - направляющий вектор прямой а, а (\vec{a}) - какая-то точка прямой.

Пусть точка (M(x_m, y_m, z_m)) — произвольная точка прямой а, тогда вектор от точки (M) до плоскости (\alpha) равен (\vec{d} = \vec{PM}), где точка (P) — произвольная точка плоскости (\alpha).

Так как прямая а параллельна плоскости α, то ее направляющий вектор (\vec{v}) должен быть перпендикулярен вектору нормали (\vec{n}) плоскости (\alpha). То есть (\vec{v} \cdot \vec{n} = 0).

Пусть (\vec{n} = (A, B, C)) — нормальный вектор плоскости (\alpha), тогда получаем уравнение плоскости: (A(x - x_P) + B(y - y_P) + C(z - z_P) = 0).

Подставим уравнение прямой в уравнение плоскости:
[A(a_1 + tv_1 - x_P) + B(a_2 + tv_2 - y_P) + C(a_3 + tv_3 - z_P) = 0].

Теперь подставим координаты точки (M) в это уравнение:
[A(x_m - x_P) + B(y_m - y_P) + C(z_m - z_P) = Ax_m - Ax_p + By_m - By_p + Cz_m - Cz_p]

[= Aa_1 + Atv_1 - Ax_P + Ba_2 + Bt v_2 - By_P + Ca_3 + Ct v_3 - Cz_P = Atv_1 + Bt v_2 + Ct v_3]

Полученное уравнение равно нулю, так как направляющий вектор прямой (\vec{v}) перпендикулярен вектору нормали (\vec{n}) плоскости (\alpha), то есть проекция вектора (\vec{d}) на (\vec{n}) равна нулю. Это и означает, что все точки прямой а равноудалены от плоскости α.