Отрезок АB является диаметром круга k, а Е является точкой внутри круга k. Прямая АЕ режет круг k, кроме точки А, так же в точки С. Прямая ВЕ разрезает круг А кроме точки В еще и в точки D.
Докажите: Величины AC ּ AE + BD ּ BE не зависят от положения точки Е.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим центр круга k как O. Так как отрезок AB является диаметром круга, то точка O лежит на отрезке AB и прямая EO проходит через центр круга. Также угол AOE прямой, так как он опирается на диаметр круга.

Теперь рассмотрим треугольники AOE и BOD. Они равны по общей стороне OE, равенству углов AOE и BOD, а также равенству углов OAE и ODB. Следовательно, у них соответственно равны отрезки AE и BD.

Теперь заметим, что AC + AE равно длине отрезка EC, а BD + BE равно длине отрезка ED. Однако отрезки EC и ED равны потому, что они соответственно равны радиусам круга k, проведенным к точкам С и D.

Таким образом, величины AC ּ AE + BD ּ BE не зависят от положения точки Е, так как они равны радиусу круга k.