Докажите лемму о воздушном змее, что произведения площадей противоположных треугольников в трапеции, образованными ее диагоналями равны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано:

ABCD - трапеция с основаниями AB и CD и диагоналями AC и BD.Пусть E и F - точки пересечения диагоналей AC и BD.

Требуется доказать:

Площади треугольников AEF и CEF равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AEF и CEF. Так как AE и CF - высоты этих треугольников, можно записать:
S(AEF) = (AEEF)/2
S(CEF) = (CFEF)/2Так как прямоугольные треугольники ABE и CDE подобны (так как угол EAC равен углу EDB, и угол EAB равен углу ECD), можно записать:
AE/DC = AB/CD = BE/DEИз подобия треугольников следует, что площади треугольников ABE и CDE относятся как квадраты соответствующих сторон:
S(ABE)/S(CDE) = (AE/DC)^2 = (BE/DE)^2Так как S(ABE) = (ABAE)/2 и S(CDE) = (CDDE)/2, можно записать:
(ABAE)/(CDDE) = (BE/DE)^2
ABAEDE = CDDEBE
AEEF = CFEF
CF = AEИз равенства AE = CF, следует, что S(AEF) = S(CEF)

Таким образом, площади треугольников AEF и CEF равны. Лемма о воздушном змее доказана.