В параллелограмме ABCD, AB=10, AD=16. Проведённые к стороне BC биссектрисы AE и DF, пересекаются в точке G. Найдите отношение площадей треугольников AGD и FGE зная, что точка E и F находятся на стороне BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим площадь треугольника AGD через S1, а площадь треугольника FGE через S2.

Так как AE - биссектриса угла DAB, то (\frac{AG}{GD} = \frac{AB}{BD} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8})

Аналогично, так как DF - биссектриса угла CDA, то (\frac{DF}{FC} = \frac{AD}{DC} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5})

Теперь рассмотрим треугольник AGD. Площадь этого треугольника равна (S1 = \frac{1}{2} \cdot AG \cdot GD \cdot \sin{\angle AGD} = \frac{1}{2} \cdot AG \cdot GD \cdot \sin{\angle AGB})

Аналогично, для треугольника FGE, площадь равна (S2 = \frac{1}{2} \cdot FG \cdot GE \cdot \sin{\angle FGE} = \frac{1}{2} \cdot FG \cdot GE \cdot \sin{\angle FGJ})

Поскольку треугольники AGD и FGE подобны, (\frac{AG}{GD} = \frac{FG}{GE}), то есть (\frac{AG}{FG} = \frac{GD}{GE})

Отсюда (\frac{S1}{S2} = \frac{AG \cdot GD \cdot \sin{\angle AGB}}{FG \cdot GE \cdot \sin{\angle FGJ}} = \frac{AG \cdot GD \cdot \sin{\angle AGB}}{AG \cdot GD \cdot \sin{\angle AGB}} = 1).

Итак, отношение площадей треугольников AGD и FGE равно 1.