Найдите угол B треугольника ABC, если известно, что высоты, исходящие из вершин А и С, пересекаются внутри треугольника и делятся точкой пересечения в отношении 5:2 и 4:5, считая от вершин.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что высоты, исходящие из вершин А и С, пересекаются внутри треугольника и делятся точкой пересечения в отношении 5:2 и 4:5, считая от вершин.

Пусть H1 и H2 - точки пересечения высот с противоположными сторонами треугольника. Тогда обозначим длины отрезков AH1, H1B, CH2, H2A как 5x, 2x, 4y, 5y соответственно.

Так как высоты, исходящие из вершин разделяются внутри треугольника, то сумма отрезков H1B и H2A должна быть больше отрезка AB, иначе точки H1 и H2 не пересеклись внутри треугольника.

Таким образом, 5x + 5y > AB, 2x + 4y > BC.

Также, по условию, точки пересечения делятся в отношении 5:2 и 4:5 соответственно, то есть AH1 : H1B = 5:2 и CH2 : H2A = 4:5.

Из этого следует, что AB = 7x, BC = 6y.

Теперь рассмотрим треугольник CH2A. Мы видим, что это треугольник, подобный треугольнику ABC, так как угол между сторонами CA и H2A равен углу C треугольника ABC, и угол H2AC равен углу B. Поэтому отношение сторон CH2 и CA равно отношению сторон BC и AB.

То есть: 4y/CA = 6y/7x, откуда CA = 7/6 * 4 = 28/6 = 14/3.

Теперь рассмотрим треугольник AH1B. Аналогично, он подобен треугольнику ABC, и отношение сторон AH1 и AB равно отношению сторон CH2 и CA.

То есть: 5x/AB = 5x/7x, откуда AB = 7.

Теперь у нас есть все стороны треугольника ABC: AB = 7, BC = 6, CA = 14/3.

Теперь мы можем использовать закон косинусов для нахождения угла B. По формуле:
cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac,

где a, b и c - длины сторон треугольника ABC.

cos(B) = (49 + 196/9 - 36) / (2 7 14/3) = (441/9 + 196/9 - 324/9) / (98/3) = (313/9) / (98/3) = 313/9 * 3/98 = 313 / 294 = 104 / 98 = 52 / 49.

Итак, cos(B) = 52 / 49.

Угол B = arccos(52 / 49) ≈ 24.07 градусов.