H - ортоцентр остроугольного треугольника ABC, точки D и E - основания высот, проведенных соответственно из вершин B и C. Окружность с диаметром DE пересекает стороны AB и AC еще раз соответственно в точках F и G. Отрезки FG и AH пересекаются в точке K. Если BC=25, BD=20 и BE=7, то найдите длину отрезка AK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Введем обозначения: пусть H - ортоцентр треугольника ABC, M - середина стороны BC, N - середина стороны DE, K' - точка пересечения прямых FG и AM.

Так как H - ортоцентр, то AH, BH и CH являются высотами треугольника ABC. Значит, AM - медиана треугольника ABC. Так как M - середина стороны BC, то AM параллельно DE и равно половине отрезка DH.

Теперь обратим внимание на четырехугольник DHEN. Так как MN - диаметр окружности, вписанной в него, то прямые DE, HN и MK' должны пересекаться в одной точке - допустим, она называется P.

Таким образом, отрезки AM и AP являются соответственно медианой и высотой треугольника HDE, проходящими через его вершину. Значит, треугольник HDP - правильный.

Теперь мы знаем, что DH = 40 и DP = DH/2 = 20. Так как треугольник HDP - правильный, то HP = DP = 20. Но также мы выяснили выше, что HM = AM/2 = DP = 20. Значит, треугольник HPM - равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник AHK'. Так как HM = MP, то угол AMP равен углу PMH. Но также угол PMH равен углу HKA. Значит, угол HKA равен углу AK'M.

Теперь обратим внимание на треугольники AHK' и AK'M. Так как углы AHK' и AK'M равны, и углы HKA и K'AM равны, то эти треугольники подобны по углам. Так как треугольник HDP был правильный, то он равносторонний, а значит, DP = PH = 20. Значит, K'M = 20.

Поскольку треугольники AHK' и AK'M подобны, то отношение сторон AK'/K'M равно отношению сторон AH/AM, то есть отношению 2:1. Значит, AK' = 40. Но так как K' - точка пересечения прямых FG и AM, то K' равно K.

Итак, отрезок AK равен 40.