Докожите что угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 145 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол CAB равен 90 градусов.

Пусть AD и BE - биссектрисы углов CAD и CBA соответственно. Тогда у нас имеется два прямоугольных треугольника ACD и BCE.

Так как AD и BE являются биссектрисами, то углы CAD и CBA делятся ими на равные углы, то есть угол DAC = угол BAD и угол ECB = угол EBC.
Также из прямоугольности треугольников ACD и BCE известно, что угол ADC = 90 - угол CAD и угол BEC = 90 - угол CBE.

Из углов DAC и ADC следует, что угол CAD = 180 - угол ADC - угол DAC. Аналогично, из углов EBC и BEC следует, что угол CBE = 180 - угол BEC - угол ECB.

Таким образом, подставим углы ADC и BEC в найденные выражения:
угол CAD = 180 - (90 - угол CAD) - (угол BAD) = 180 - 90 + угол CAD - угол BAD = 90 + угол CAD - угол BAD
угол CBE = 180 - (90 - угол CBE) - (угол EBC) = 180 - 90 + угол CBE - угол EBC = 90 + угол CBE - угол EBC

Так как углы BAD и EBC равны, подставим их:
угол CAD = 90 + угол CAD - угол EBC
угол CBE = 90 + угол CBE - угол CAD

Для доказательства того, что угол между биссектрисами равен 145 градусов, найдем разность этих углов:
(90 + угол CAD - угол EBC) - (90 + угол CBE - угол CAD) = угол CAD - угол EBC - угол CBE + угол CAD = 2*угол CAD - угол EBC - угол CBE

Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, получим:
180 = угол CAD + угол EBC + угол CBE
угол CAD = 180 - угол EBC - угол CBE

Таким образом, разность углов между биссектрисами равна:
2угол CAD - угол EBC - угол CBE = 180 - угол EBC - угол CBE - угол EBC - угол CBE = 180 - 2угол EBC - 2*угол CBE

Так как углы EBC и CBE также равны, то:
180 - 2угол EBC - 2угол CBE = 180 - 4*угол EBC

Так как угол EBC равен 45 градусам (поскольку он равен половине угла CAB, а CAB равен 90 градусов), подставим его:
180 - 4*45 = 180 - 180 = 0

Таким образом, угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 0 градусов, а не 145 градусов.