Докажите,что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S=a²√3/4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данной формулы найдем площадь равностороннего треугольника через высоту.

Площадь равностороннего треугольника можно выразить через его высоту h и сторону a следующим образом:

S = 1/2 a h,

где a - сторона треугольника, h - высота, опущенная из вершины на середину стороны.

В равностороннем треугольнике высота h является биссектрисой, медианой и высотой одновременно, поэтому можно разделить треугольник на два равнобедренных треугольника.

В каждом из этих треугольников биссектриса h равна a√3 / 2.

Теперь можно найти площадь каждого из равнобедренных треугольников:

S = 1/2 (a/2) (a√3 / 2) = 1/2 a² √3 / 4.

Учитывая, что равносторонний треугольник делится на два таких равнобедренных треугольника, получаем общую площадь:

S = 2 (1/2 a² √3 / 4) = a² √3 / 4.

Таким образом, площадь равностороннего треугольника равна a² * √3 / 4, что и требовалось доказать.