В треугольнике ABC окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной ВС. Докажите, что AC + AB = 3BC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точки касания окружности с сторонами треугольника как D, E, F (по сторонам AB, BC, AC соответственно).

Поскольку точка D лежит на средней линии треугольника ABC (параллельной BC), то AD = DB, равно как AE = EC и CF = FA.

Тогда AC = AF + FC = AE + EC = AB + BC

С другой стороны, по условию ABC - треугольник, в который вписана окружность, то можно записать равенства:

AF + FB = AB

FB + FC = BC

FA + AC = 3FB

Сложим два последних равенства:

FA + AC = 3FB

FA + AB + BC = 3FB

AB + BC = 2FB

Подставим значения AC и AB, полученные ранее:

AB + BC = 2FB

AB + AB + BC = 3BC

2AB + BC = 3BC

AB + BC = 2BC

Отсюда следует, что AC + AB = 3BC.