В треугольнике длины двух сторон равны 6 и 3. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника как a = 6, b = 3 и c - третью сторону. Пусть h1 и h2 - высоты, проведенные к сторонам a и b соответственно, и h3 - высота, проведенная к стороне c.

По условию задачи, полусумма высот к сторонам a и b равна высоте к стороне c:

(h1 + h2) / 2 = h3

Известно, что площадь треугольника можно выразить через длины сторон и проведенную к ним высоту:

S = (1/2) a h1 = (1/2) b h2 = (1/2) c h3

Так как S = S, то можем записать следующее:

(1/2) 6 h1 = (1/2) 3 h2 = (1/2) c h3

h1 = 6c / h3
h2 = 3c / h3

Также известно, что площадь треугольника можно выразить через его стороны:

S = (a b sin(C)) / 2

где C - угол между сторонами a и b. Так как площадь выражается одинаково через все стороны и высоты, то можем записать:

(1/2) 6 h1 = (1/2) 3 h2 = (1/2) c h3 = (6 3 sin(C)) / 2

Значит:

6c / h3 6 = 3c / h3 3 = ch3 = 6 3 sin(C)

Из этого получается:

h3 = c * sin(C)

Из основной формулы для нахождения высоты в выражении через стороны треугольника следует:

h3 = 2 * S / c

где S - площадь треугольника. Подставим выражение площади через высоты в формулу для h3:

h3 = (6c / h3 6 + 3c / h3 3) / 2c
h3 = (6c / h3 6 + 3c / h3 3) / 2c

Подставим значения высот:

h3 = (6 / (h3/2) 6 + 3 / (h3/2) 3) / 2
h3 = (72 / h3 + 9 / h3) / 2
h3 = 81 / 2h3
2h3^2 = 81
h3^2 = 81 / 2
h3 = sqrt(81 / 2)
h3 = 9 / sqrt(2)

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем длину третьей стороны:

c^2 = a^2 - h3^2
c^2 = 36 - 81 / 2
c^2 = 72 / 2 - 81 / 2
c^2 = (72 - 81) / 2
c^2 = -9 / 2
c = sqrt(-9 / 2)
c = sqrt(9) sqrt(-1 / 2)
c = 3 i * sqrt(2)

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 3 i sqrt(2), где i - мнимая единица.