В тетраэдре DABC угол DBA=DBC=90 градусов, DB=6, AB=BC=8, AC=12. постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем длину DC. Так как у тетраэдра DABC угол DBA=DBC=90 градусов, то треугольник DBC прямоугольный. По теореме Пифагора:
DB^2 + BC^2 = DC^2
6^2 + 8^2 = DC^2
DC = √(36 + 64) = √100 = 10

Теперь построим сечение плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Так как DC параллельна AB, то точка пересечения сечения с AB будет серединой отрезка AB, то есть точкой M(4, 0, 0).

Теперь найдем координаты точки C. Так как AB=BC=8, то точка C будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку AB, проходящем через точку M. Так как AC=12, то MC=MB=6. Используем координаты A(0, 0, 0) и M(4, 0, 0) для нахождения координат C:
CM = √(4^2 + 6^2) = √52
x_C = 0 + 6 (4/√52) = 24/√52
y_C = 0
z_C = 0 + 4 (6/√52) = 24/√52

Таким образом, координаты точки C равны (24/√52, 0, 24/√52).

Площадь сечения тетраэдра - это площадь треугольника MCD. Найдем длины его сторон:
MC = √52
CD = DC - MC = 10 - √52
MD = √(4^2 + 6^2) = √52

Используем формулу полупериметра треугольника и формулу Герона для нахождения площади:
s = (MC + CD + MD) / 2 = (2√52 + 10 - √52) / 2 = 6
S = √(s(s - MC)(s - CD)(s - MD)) = √(6(6 - 2√52)(6 - 10 + √52)(6 - √52)) = √(6464) = √576 = 24

Ответ: Площадь сечения тетраэдра равна 24.