В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 3, AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины рёбер AB и B1C1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек E и F.

Точка E - середина ребра AB, следовательно, координаты E будут равны ((A.x + B.x) / 2, (A.y + B.y) / 2, (A.z + B.z) / 2) = ((0 + 6) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 0) / 2) = (3, 0, 0)

Точка F - середина ребра B1C1, а так как B1C1 параллельно плоскости ADD1, то точка F принадлежит прямой EF и плоскости ADD1. Координаты F будут равны ((B1.x + C1.x) / 2, (B1.y + C1.y) / 2, (B1.z + C1.z) / 2) = ((6 + 6) / 2, (0 + 0) / 2, (0 + 8) / 2) = (6, 0, 4)

Теперь найдем вектор EF: (6 - 3, 0 - 0, 4 - 0) = (3, 0, 4)

Вектор нормали N к плоскости ADD1 будет равен векторному произведению векторов AD и AD1: (8, 0, 0) x (0, 3, 0) = (0, 0, 24)

Так как вектора EF и N перпендикулярны плоскости ADD1, то угол между прямой EF и плоскостью ADD1 равен углу между векторами EF и N, который можно найти по формуле cos(θ) = (EF N) / (|EF| |N|), где * - скалярное произведение

(3 0 + 0 0 + 4 24) / (sqrt(3^2 + 0^2 + 4^2) sqrt(0^2 + 0^2 + 24^2)) = 96 / (5 * 24) = 96 / 120 = 0.8

Отсюда получаем, что cos(θ) = 0.8, следовательно, угол θ = arccos(0.8) ≈ 36.87°

Итак, угол между плоскостью ADD1 и прямой EF составляет около 36.87 градусов.