Точка P не лежит в плоскости трапеции ABCD. С основанием AD и BC. Докажите (!), что прямая проходящая через середины PB и PC параллельна средней линии трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точки E и F как середины отрезков PB и PC соответственно, а точку O как середину отрезка DC (среднюю линию трапеции).

Так как прямая EF проходит через середины отрезков PB и PC, то она делит их пополам, т.е. PE = EB и PF = FC.

Рассмотрим треугольники PEB и PFC. У них соответственные стороны равны (PE = EB и PF = FC) и общий угол P.

Из этого следует, что эти треугольники подобны.

Таким образом, угол E и угол F являются соответственными углами в этих треугольниках.

Поскольку отрезок DC параллелен отрезку AB и пересекает прямую EF в точке O, то угол EOF является соответственным углом к углу ADC.

Из подобия треугольников PEB и PFC мы знаем, что угол E = угол F.

Следовательно, углы E и F равны углу ACD и углу BDC соответственно.

Таким образом, прямая EF // DC и проходит через середину DC, что и требовалось доказать.