Диагонали равнобедренной трапеции трапеции ABCD взаимно перпендикулярны, BH - высота к большему основанию трапеции CD а) докажите что треугольник BHD - равнобедренный б) найдите площадь трапеции, если ее средняя линия равна 11.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Так как диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то углы, образованные диагоналями и основаниями трапеции, равны между собой. Таким образом, углы BHD и DHB равны между собой, что делает треугольник BHD равнобедренным.

б) Пусть AM - средняя линия равнобедренной трапеции ABCD, тогда AM = (AC + BD) / 2. Так как трапеция равнобедренная, то AM = HC = BD/2. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике BHD имеем:
BH^2 = HD^2 + BD^2/4
Так как треугольник BHD равнобедренный, то HD = BH и угол BHD равен 90 градусов, поэтому имеем
BH^2 = BH^2 + BD^2/4
BD^2 = 3BH^2
С учетом того, что AC = BD и AM = HC, площадь трапеции равна
S = (AC + BD) HC / 2 = (2AC) AC / 2 = AC^2
S = (113)^2 = 9999 = 9801

Ответ: площадь трапеции равна 9801.