На отрезке MN как на диаметре, построен полукруг с центром в точке О. На отрезках MO и NO по одну сторону от MN построены еще два полукруга. Найти радиус круга, касающегося всех трех построенных полукругов, если MN = 6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиусы построенных полукругов как r1, r2 и r3 (где r1 радиус полукруга, построенного на MN). Тогда точка касания общего круга с первым полукругом лежит на прямой MO, с вторым - на NO.

Также известно, что точка касания всех полукругов лежит на прямой, перпендикулярной MN в точке О.

Для начала найдем расстояние от точки О до прямой MO. Так как треугольник MON прямоугольный, то это расстояние равно пополам длины MN, то есть 3.

Аналогично, расстояние от точки О до прямой NO также равно 3.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник XOY, где X - центр круга, Y - точка касания с прямой MO. Мы знаем, что XO = r1 + r2, OY = 3, XY = r1 + r2 + r3. По теореме Пифагора:

(3)^2 + (r1 + r2)^2 = (r1 + r2 + r3)^2

9 + r1^2 + 2r1r2 + r2^2 = r1^2 + 2r1r2 + r2^2 + 2r1r3 + 2r2r3 + r3^2

9 = 2r1r3 + 2r2r3 + r3^2

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник XZT, где Z - точка касания с прямой NO. Аналогично с предыдущим случаем:

9 = 2r1r4 + 2r2r4 + r4^2

Сложим два уравнения:

18 = 2r1(r3 + r4) + 2r2(r3 + r4) + r3^2 + r4^2

Известно, что r1 = r2, поэтому уравнение можно упростить:

18 = 4r1r3 + 2r3^2

Так как MN = 6, то r1 + r2 = r1 + r1 = 2r1 = 6, откуда r1 = 3.

Подставим найденное значение r1 в уравнение 18 = 4r1r3 + 2r3^2:

18 = 12r3 + 2r3^2

r3^2 + 6r3 - 9 = 0

(r3 + 3)(r3 - 3) = 0

r3 = 3 (так как другой корень уравнения отрицательный и не имеет физического смысла)

Итак, радиус общего круга, касающегося всех трех полукругов, равен 3.