Внутри треугольника ABC взята точка М. докажите,что площади треугольников BAD и BCM равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника ABC, проведённой из вершины B. Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть S1 и S2 - площади треугольников BAD и BCM соответственно. Точка M лежит на медиане треугольника ABC, проведенной из вершины B, если и только если отрезок BM делит сторону AC пополам.

Пусть BM делит сторону AC пополам. Тогда площади треугольников ABC и BMC равны (так как их высоты равны и их основания равны). Пусть AM = x и MC = y. Тогда S1 = 0.5 x h1, где h1 - высота треугольника BAD из вершины B, а S2 = 0.5 y h2, где h2 - высота треугольника BCM из вершины B. Так как S1 = S2, то x h1 = y h2. Так как отрезок BM делит сторону AC пополам, то x = y, и, следовательно, h1 = h2. Таким образом, площади S1 и S2 равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Для построения треугольника из медиан данного треугольника, проведем медиану BD и обозначим точку их пересечения с стороной AC как K. Треугольник BKC будет подобен треугольнику ABC, так как у них соответственные углы равны (по свойству медианы, деления стороны треугольника), а стороны пропорциональны. Таким образом, треугольник BKC имеет ту же форму, что и треугольник ABC, но меньшую площадь. Отношение площади треугольника BKC к площади треугольника ABC равно квадрату отношения медианы к соответствующей стороне, то есть (BK / AB)^2.

Таким образом, отношение площади треугольника BKC к площади треугольника ABC равно (BK / AB)^2.