Через вершину С треугольника АВС проведена прямая р, параллельная прямой АВ.Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой р и основанием АВ имеют равные площади.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: треугольники ABC и XYZ с вершинами на прямой p и основанием AB, причем p || AB.

Доказательство:

Поскольку p || AB, то углы CAB и XYZ будут равны, так как они будут соответственными при параллельных прямых.Таким образом, углы CAB и XYZ равны, а значит, эти треугольники будут подобными.Пусть коэффициент подобия между треугольниками ABC и XYZ равен k.Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответствующих сторон.Пусть AC=a и XZ=x, тогда AB=a/k и XY=x/k.Площадь треугольника ABC равна 0,5aBC, а площадь треугольника XYZ равна 0,5xYZ.Получаем, что площади треугольников ABC и XYZ соотносятся как (aBC):(xYZ)=(a/k)(kx)/(x)=a:k.Следовательно, все треугольники, построенные на прямой p и основании AB, имеют равные площади.

Таким образом, доказано, что все треугольники с вершинами на прямой p и основанием AB имеют равные площади.