Все стороны правильного треугольника касаются сферы диаметром 4 дм, плоскость треугольника удалена на расстоянии 1 дм от центра сферы. Найдите сторону треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим сторону треугольника как (a). Так как все стороны треугольника касаются сферы, то каждая сторона будет равна радиусу сферы. Таким образом, (a = 4\, \text{дм}).

Теперь мы должны найти расстояние от плоскости треугольника до центра сферы. Данное расстояние является высотой правильного треугольника. По свойствам правильного треугольника, это расстояние можно найти как (\frac{a \sqrt{3}}{2}).

Теперь можно найти всю длину высоты треугольника, добавив к ней 1 дм (расстояние от плоскости треугольника до центра сферы):
[h = \frac{a \sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{4\cdot\sqrt{3}}{2} + 1 = 2\sqrt{3} + 1 \, \text{дм}]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны треугольника:
[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2]
[4^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 + (2\sqrt{3} + 1)^2]
[16 = 2^2 + 4(3) + 4\sqrt{3} + 1]
[16 = 4 + 12 + 4\sqrt{3} + 1]
[16 = 17 + 4\sqrt{3}]
[4\sqrt{3} = -1]
[\sqrt{3} = -\frac{1}{4}]

Таким образом, мы получили, что длина стороны треугольника равна 4 дм.