Объём треугольной пирамиды равен 5, три ее вершины находятся в точках А(2;1;-1), В(3;0;1), С(2;-1;3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что ее проекция на плоскость основания АВС лежит в центре треугольника АВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение плоскости, содержащей точки A, B и C. Для этого воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - нормаль к плоскости.

Найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (3 - 2, 0 - 1, 1 + 1) = (1, -1, 2),
AC = C - A = (2 - 2, -1 - 1, 3 + 1) = (0, -2, 4).

Найдем векторное произведение AB и AC:

N = AB x AC = i [(1)(4) - (-1)(-2)] - j [(1)(0) - (2)(4)] + k [(1)(-2) - (-1)(0)]
= i (4 + 2) - k * (-2) = (6, 0, 2).

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C:

6x +2z -6 = 0.

Далее найдем точку M - середину отрезка BC (проекция вершины D).
Координаты точки M это среднее арифметическое координат точек B и C:

M(x, y, z) = ((3 + 2) / 2, (0 - 1) / 2, (1 + 3) / 2) = (2.5, -0.5, 2).

Так как точка D является вершиной пирамиды, плоскость проходящая через вершины пирамиды перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, уравнение плоскости, содержащей D и перпендикулярной плоскости основания имеет вид:

6x +2z + D = 0,

где (6, 0, 2) - нормаль к этой плоскости.

Так как проекция D лежит в центре треугольника ABC, то координаты D равны:

D(x, y, z) = (2.5, -0.5, 2).

Подставляем координаты точки D в уравнение плоскости, содержащей D:

6 2.5 + 2 2 + D = 0,
15 + 4 + D = 0,
D = -19.

Итак, координаты четвертой вершины D пирамиды равны (2.5, -0.5, -19).