№1 В Треугольнике ABC провели медианы АА(1) и ВВ(1). ВА(1)=6, АВ(1)=7, угол В= 30 градусов. Найти радиус описанной окружности. №2 в треугольнике провели биссектрису ВВ(1), угол А=60 градусов, АВ=6, АВ(1)=5. Найти В(1)С, ВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

№1
Из условия известно, что медианы в треугольнике делятся друг на друга в отношении 2:1. Поэтому ВА(1) = 2/3 АВ(1) = 2/3 7 = 14/3.
Также из условия известно, что ВА(1) = 6, поэтому А(1)С = 6 - 14/3 = 4/3.

Теперь построим высоту треугольника, проходящую через В(1) и перпендикулярную стороне АС. Обозначим эту точку пересечения за Н.

Треугольник АВ(1)С подобен треугольнику АНВ(1) по признаку углов А и В. Так как ВАН = ВСА = 90 градусов, то В(1)АН = В(1)СА = 30 градусов. Так же ВА(1)=14/3, поэтому В(1)Н= 14/3:2=7/3
Из правоугольного треугольника АНВ(1), воспользуется теоремой Пифагора, получаем:
АН^2 + 7/3^2 = 14/3^2
АН = √(14^2 - 7^2) / 3 = 7√3 / 3

Теперь можем найти радиус окружности, вписанной в треугольник НВ(1)С. Она равна половине высоты, что равняется 7√3 / 6.

Так как медианы треугольника пересекаются в точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, то точка пересечения медиан находится в 1/3 от каждой медианы от вершины. Поэтому радиус описанной окружности равен 3 * 7√3 / 6 = 7√3 / 2.

Ответ: радиус описанной окружности равен 7√3 / 2.

№2
Из условия известно, что биссектриса ВВ(1) делит сторону АС на отрезки пропорционально прилежащим сторонам треугольника. Поэтому ВС = В(1)С = 6, ВС = 5, ВВ(1) = 7. Из угловой теоремы, угол ВВ(1)А = 30 градусов.

Треугольник ВВ(1)А подобен треугольнику ВАС по углу В. Так как одинаковый угол делит противоположные стороны на одинаковое количество раз, то ВС/В(1)С = ВА/ВВ(1) = ВА(1)/ВВ.

Теперь можем найти с помощью подобия треугольников ВВ(1)С:
ВВ(1)С = В[ВВС/(ВС+ВС)] = 65/(6+5) = 30/11
В(1)С = 6*5/(6+5) = 30/11

Ответ: ВВ(1)С = В(1)С = 30/11.