Острый угол равнобедренной трапеции равен 45 градусов. Большее основание равно 12 см, а расстояние между прямыми, содержащими основание, равно 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи мы знаем, что острый угол равнобедренной трапеции равен 45 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то угол между основаниями также равен 45 градусов.

Обозначим среднюю линию трапеции через х. Тогда мы можем разбить трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника и использовать теорему синусов.

Пусть AC - большее основание трапеции, BD - меньшее основание, M - середина BD, тогда BM = MD = x. Тогда AM = 6 - x. Также у нас есть треугольник ABC с углом в 45 градусов.

Сначала найдем длину бокового отрезка треугольника ABC. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABM:
AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = (6 - x)^2 + x^2
AB^2 = 36 - 12x + x^2 + x^2
AB^2 = 2x^2 - 12x + 36
AB = √(2x^2 - 12x + 36)

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
AB/sin(45) = AC/sin(67.5)
√(2x^2 - 12x + 36)/sin(45) = 12/sin(67.5)
√(2x^2 - 12x + 36) = 12sin(45)/sin(67.5)
√(2x^2 - 12x + 36) = 12√2/√2*(√2 - 1)
√(2x^2 - 12x + 36) = 12(√2 - 1)

Теперь квадрируем обе части уравнения:
2x^2 - 12x + 36 = 144*(2-√2)

2x^2 - 12x + 36 = 144*2 - 144√2
2x^2 - 12x + 36 = 288 - 144√2
2x^2 - 12x - 36√2 + 252 = 0
x^2 - 6x - 18√2 + 126 = 0

Теперь решаем полученное квадратное уравнение, чтобы найти значение х. Получаем x = 7.

Следовательно, средняя линия трапеции равна 7 см.