Диагональ АС трапеции АВСD (АВ II СD) делит её на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции АВСD, если АВ=25 см, ВС=20 см, АС=15 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как О. Тогда треугольники АВО и СОD подобны треугольникам ОВС и ОАD в соответствии с теоремой о подобных треугольниках.

Из подобия треугольников можно записать пропорцию:

( \frac{AO}{OC} = \frac{AV}{VC} )

( \frac{AO}{AC - AO} = \frac{AV}{VC} )

( \frac{AO}{15 - AO} = \frac{25}{20} )

( 20AO = 375 - 25AO )

( 45AO = 375 )

( AO = \frac{375}{45} = \frac{25}{3} )

Теперь найдем высоту трапеции, опущенную из вершины В:

( h = \frac{AO \cdot VC}{VC + AV} )

( h = \frac{\frac{25}{3} \cdot 20}{20 + 25} = \frac{500}{45} = \frac{100}{9} )

Площадь трапеции можно найти как сумму площадей двух подобных треугольников и параллелограмма, образованного диагоналями:

( S{ABCD} = S{\bigtriangleup ABO} + S{\bigtriangleup SOD} + S{\bigparallel ogram OCDB} )

( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot h + \frac{1}{2} \cdot SO \cdot h + AO \cdot SO )

( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot \frac{100}{9} + \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{100}{9} + \frac{25}{3} \cdot 15 )

( S_{ABCD} = \frac{1250}{27} + \frac{750}{27} + \frac{375}{3} )

( S_{ABCD} = \frac{1250 + 750 + 1125}{27} = \frac{3125}{27} )

( S_{ABCD} ≈ 115.74 \ см^2 )