Найти объем правильной трехугольной пирамиды, сторона основания которой 10 см., а боковое ребро-18 см. Найти также полную поверхность этой пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через $a$ длину стороны основания пирамиды, через $l$ – длину её бокового ребра. Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:
[V = \frac{1}{3} \cdot S{\text{осн}} \cdot h,]
где $S{\text{осн}}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды. Так как у нас правильная треугольная пирамида, её высота равна биссектрисе её боковой грани и можно найти, используя теорему Пифагора:
[h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{18^2 - 5^2} = \sqrt{324 - 25} = \sqrt{299} \approx 17.29\text{ см}.]
Теперь можем найти объем пирамиды:
[V = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot \sqrt{299} \approx \frac{50 \sqrt{299}}{3} \approx 96.78\text{ см}^3.]

Полная поверхность правильной треугольной пирамиды состоит из площади основания и трех равных равносторонних треугольников. Площадь такого треугольника равна
[S{\text{треуг}} = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{10 \cdot 17.29}{2} = 86.45\text{ см}^2,]
тогда общая площадь поверхности:
[S = S{\text{осн}} + 3 \cdot S_{\text{треуг}} = 50 + 3 \cdot 86.45 = 309.35\text{ см}^2.]

Итак, объём пирамиды равен приблизительно 96.78 см³, а полная поверхность – 309.35 см².