Как доказать, что количество диагоналей многоугольника равно n*(n-3)/2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этой формулы можно воспользоваться методом математической индукции.

Индуктивное предположение: для любого n-угольника формула n*(n-3)/2 верна.

База индукции:
Для треугольника (n=3) количество диагоналей равно 0, что соответствует формуле 3*(3-3)/2=0. Поэтому база индукции верна для n=3.

Индуктивное предположение:
Пусть для n=k формула верна, то есть количество диагоналей равно k*(k-3)/2.

Индуктивный переход:
Докажем, что формула также верна для n=k+1.
Рассмотрим (k+1)-угольник. В этом случае у него будет k вершин и k+1 сторон.
Каждая вершина соединяется с каждой другой вершиной линией (стороной). Таким образом, количество диагоналей в k-угольнике равно k(k-3)/2 (по предположению индукции).
Каждая вершина нового (k+1)-угольника соединена с уже k-ю вершиной k диагоналями. Таким образом, к уже имеющимся диагоналям добавится еще k диагоналей. Но у нас есть еще k+1 сторон, которые мы не учли. Каждая из них может быть диагональю. Поэтому к общему числу диагоналей добавится k+1 диагональ.
Итак, общее количество диагоналей в (k+1)-угольнике равно k(k-3)/2 + k + 1 = (k^2 - 3k + 2 + 2k + 2)/2 = (k^2 - k)/2 = (k+1)(k+1-3)/2. Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что для любого n-угольника количество диагоналей равно n*(n-3)/2.