1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 60° больше другого. 2. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°. Найдите углы треугольника. 3. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника за A, B и C, где C - прямой угол. По условию, угол A равен 60° + B.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то A + B + C = 180°.
Заменим угол A в уравнении: (60° + B) + B + 90° = 180°
60° + 2B + 90° = 180°
2B = 30°
B = 15°
Таким образом, углы равны: A = 75°, B = 15°, C = 90°.

Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 140°, значит внутренний угол при основании равен 180° - 140° = 40°. Так как треугольник равнобедренный, то верхние углы также равны. Пусть они равны x. Тогда сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно:
x + x + 40° = 180°
2x + 40° = 180°
2x = 140
x = 70°
Таким образом, углы треугольника равны: 70°, 70°, 40°.

Пусть AB и AC - боковые стороны равнобедренного треугольника, AD - высота, проведенная к основанию BC. Пусть O - точка пересечения биссектрисы угла A с BC, E - точка пересечения AD с внутренней биссектрисой угла BAC.
Треугольники ABC и AED подобны, так как у них два равных угла - A и BAC. Значит, у них соотношения сторон равны:
BC/AC = AD/ED
BC/AC = AB/AD
BC = AB
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AB, откуда:
AB = AB
Следовательно, треугольники ADC и AEB равны и AD || BE.