1. На рисунке 2 MN//AC. а) Докажите, что AB*BN =CB*BM. б) Найдите MN, если AM=6см, BM=8см, AC=21см. 2. Даны стороны треугольников PQR и ABC: PQ =16см, QR=20см, PR=28см и AB=12см, BC=15см, AC=21см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Из условия MN//AC и теоремы Талеса (пропорциональность отрезков на параллельных прямых) следует, что

AB/BM = AC/CN

ABMN = BMCN

ABMN = BM(AC-AM)

ABMN = BMAC - BM*AM

ABMN = BMAC - AM*CB

ABMN = CBBM - AM*CB

ABMN = CB(BM-AM)

ABMN = CBBN

ABBN = CBBM

б) Из соотношения ABBN = CBBM и данного, что AM=6см, BM=8см, AC=21см, найдем MN.

ABBN = CBBM
AB(AC-AM) = MNBM
AB(21-6) = MN8
AB*15 = 8MN
MN = 15AB/8

MN = 15*8/8
MN = 15 см

Ответ: MN = 15 см.

Площадь треугольника PQR можно найти по формуле Герона:

S_PQR = sqrt(p(p-PQ)(p-QR)*(p-PR)), где p - полупериметр треугольника PQR

p_PQR = (PQ+QR+PR)/2 = (16+20+28)/2 = 64/2 = 32

S_PQR = sqrt(32(32-16)(32-20)(32-28))
S_PQR = sqrt(3216124)
S_PQR = sqrt(24576
S_PQR ≈ 156,48 кв.см

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона:

S_ABC = sqrt(p(p-AB)(p-BC)*(p-AC)), где p - полупериметр треугольника ABC

p_ABC = (AB+BC+AC)/2 = (12+15+21)/2 = 48/2 = 24

S_ABC = sqrt(24(24-12)(24-15)(24-21))
S_ABC = sqrt(241293)
S_ABC = sqrt(7776)
S_ABC = 88,18 кв.см

Отношение площадей треугольников PQR и ABC:

S_PQR/S_ABC = 156.48/88.18 ≈ 1.77

Ответ: Отношение площадей треугольников PQR и ABC равно примерно 1.77.