Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K проведена прямая, параллельная диагонали AC и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону ромба через a, тогда его площадь равна S = a^2 = 18, а сторона треугольника ABD равна a√2.

Так как окружность вписана в треугольник ABD, то точка касания лежит на высоте, проведенной из вершины A. Обозначим эту точку через H.

Так как прямая, проходящая через точку касания окружности с стороной ромба, параллельна диагонали AC, то треугольник ABH подобен треугольнику ABC соответственно (по стороне и радиусу вписанной окружности), что означает, что точка H делит сторону AD в отношении √2:1.

Обозначим сторону ромба через a, тогда AD = √2a, и из площади треугольника находим высоту: h = 2S/AB = 2*18/AD = √2 a.

Из подобия треугольников ABH и ABC имеем BK/KA = BH/HC, то есть, BK/√2 a = a/h, тогда BK = a^2/√2h = S/√2h. Тогда площадь треугольника ABK: 1/2ABBK = 1/2√2 a S/√2h = S/h.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Синус угла BAC = S/ABAC = S/ABh = S^2/(ABh) = S^2/(√2 a √2 a) = S^2/2S^2 = 1/2.

Ответ: sin(BAC) = 1/2.