Докажите , что площадь полукруга , построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и AC - катеты, BC - гипотенуза.

Пусть Rbc, Rab и Rac - радиусы полуокружностей, построенных на отрезках BC, AB и AC соответственно.

Тогда площади полукругов, построенных на отрезках AB, BC и AC равны:
S1 = π(Rab)^2/2,
S2 = π(Rbc)^2/2,
S3 = π(Rac)^2/2.

Также известно, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе треугольника ABC, равна:
S = π(Rbc)^2/2.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то по теореме Пифагора:
AB^2 + AC^2 = BC^2.

Тогда из радиусов построенных полукругов следует:
Rab^2 = AB^2/4,
Rac^2 = AC^2/4,
Rbc^2 = BC^2/4.

Таким образом:
S1 = π(AB^2/4) / 2,
S2 = π(BC^2/4) / 2,
S3 = π(AC^2/4) / 2.

Также, из теоремы Пифагора и равенства площадей полукругов получаем:
S = S1 + S2 + S3.

Следовательно, площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.