Основанием прямого параллепипеда служит ромб с углом 60°. Сторона ромба равна 4. Меньшая диагональ параллепипеда составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объём параллепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину меньшей диагонали параллелепипеда через d. Так как меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол 60°, то получаем, что это также высота параллелепипеда. Теперь можем выразить ее через сторону ромба: h = dsin(60°) = dsqrt(3)/2.

Так как параллелепипед имеет форму прямоугольного параллелепипеда, то можно записать, что его объем равен V = S h = 4 4 d sqrt(3)/2 = 8d*sqrt(3), где S - площадь основания параллелепипеда.

Теперь осталось найти длину диагонали d. Обозначим более короткую сторону ромба за а, тогда a = 4. По условию задачи сторона параллелепипеда равна стороне ромба, то есть a. Мы также знаем, что бОльшая диагональ ромба равна 2а, то есть 8. По теореме Пифагора, длина диагонали ромба равна d = sqrt(a^2 + (2a)^2) = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) = 4*sqrt(5).

Теперь подставляем найденное значение d в формулу для объема и получаем: V = 84sqrt(5) = 32*sqrt(5).

Ответ: объем параллелепипеда равен 32*sqrt(5).