Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если: ∠САВ = 90°, ВС =4, ∠АВС=30 и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как у нас треугольная пирамида, то для нахождения площади основания S нам необходимо найти площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

S = (1/2) a b * sin(∠C),

где a и b - длины сторон треугольника, ∠C - угол между ними.

Из условия задачи имеем следующие данные:
a = ВС = 4,
b = ВА,
∠C = ∠ASB = 60°.

Так как угол ВАС = 30°, то угол ВА = 180° - 90° - 30° = 60°, так как треугольник равнобедренный с углом при основании равным 30°.

Теперь можем найти площадь основания S:

S = (1/2) 4 ВА * sin 60°.

Так как sin 60° = sqrt(3)/2, то получаем:

S = 2 ВА sqrt(3).

Теперь осталось найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ASB:

(ВА^2) = (AB)^2 + (BS)^2.

Так как AB = 4 и ∠ABS = 60°, то высота пирамиды AS равна:

(ВА^2) = 4^2 + h^2
h = sqrt(ВА^2 - 16).

Из уравнения теоремы Пифагора получаем:

4^2 = ВА^2 - 16
ВА^2 = 32
ВА = 4 * sqrt(2).

Теперь можем найти высоту h:

h = sqrt((4 * sqrt(2))^2 - 16)
h = sqrt(32 - 16)
h = sqrt(16)
h = 4.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) S h
V = (1/3) (2 4 sqrt(3)) 4
V = (8 * sqrt(3))/3.

Итак, объем треугольной пирамиды SABC равен (8 * sqrt(3))/3.