Из точки O пересечения диагоналей прямоугольника к его плоскости восстановлен перпендикуляр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от врешин прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан прямоугольник ABCD и точка O - точка пересечения его диагоналей. Пусть M - произвольная точка на перпендикуляре, проведенном через O к плоскости прямоугольника.

Так как OM перпендикулярен плоскости прямоугольника, то OM перпендикулярен и плоскости ABCD. Рассмотрим треугольник OMC.

Поскольку точка O - центр прямоугольника, то точка O равноудалена от вершин прямоугольника:

OA = OC,
OB = OD.

Так как треугольники OAC и ODC равнобедренные (OA = OC и OD = OB), то угол OAC = угол OCA и угол ODC = угол OCD.

Таким образом, угол OCA = угол OCD. Значит, треугольники OAC и OCD подобны по стороне-углу-стороне (угол O = угол O, OA = OC и OC общая), следовательно, OC/AC = OD/DC.

Теперь рассмотрим треугольник OMC. Точка O находится на одинаковом расстоянии от МС и МС (перпендикуляр МО). Отсюда сразу следует, что ОМ=ОМ. Мы доказали, что любая точка перпендикуляра, восстановленного из точки пересечения диагоналей прямоугольника к его плоскости, равноудалена от его вершин.