Дано: KABCDEM - правильная шестиугольная пирамида. КО - высота пирамиды. KT⊥AM; ∠KTO=60°. Найти отношение площадей ΔМКD и ΔMKC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Посмотрим на треугольники ΔМКD и ΔMKC.

Так как AM ⊥ KT, то KT является высотой боковой грани МКД
Также, по условию, ∠KTO = 60°, то высота KT равна MD
Таким образом, MD = KT = MA
А значит, ΔМАК - равносторонний треугольник, так как ∠MAК = 60°.

Теперь найдем площадь треугольника ΔMKC через сторону МТ
S(MKC) = 0.5 MT MC.

Так как МАК - равносторонний треугольник, то МК = AK = AC = МС
А значит, S(MKC) = 0.5 MT MC = 0.5 MT MK.

Теперь найдем площадь треугольника ΔМKD
S(MKD) = 0.5 MD KM = 0.5 MK KM.

Отношение площадей ΔМКD и ΔMKC
S(MKD) / S(MKC) = (0.5 MK KM) / (0.5 MT MK) = KM / MT.

Так как треугольник КМТ является прямоугольным треугольником, то по теореме Пифагора
КМ^2 = МТ^2 + КТ^2
КМ = √(МТ^2 + КТ^2).

Из условия мы знаем, что ∠KTO = 60°, что означает, что треугольник КТО также является равносторонним со стороной КМ = KT
Значит, KT = MT, так как KT = MA, а МА = МТ
Тогда
КМ = √(МТ^2 + КТ^2) = √(МТ^2 + МТ^2) = √2 * MT
КМ / МТ = √2.

Итак, отношение площадей ΔМКD и ΔMKC равно √2.