ABCD - ромб, О- точка пересечения диагоналей, АС:BD=2:3, OE и AB перпендикулярны, площадь треугольника AOE равна 27. Найдите площадь ромба ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона ромба равна х, тогда диагонали будут равны 3x (AC) и 2x (BD).
Так как точка О - точка пересечения диагоналей, она делит площадь ромба пополам, т.е. S_AOED = S_ABCD / 2.
Так как треугольник AOE - равнобедренный, то S_AOE = (1/2) OE AO.
Таким образом, 27 = (1/2) OE AO, откуда OE * AO = 54.

Так как треугольник AOE - прямоугольный, применим теорему Пифагора:
OE^2 + AO^2 = AE^2, откуда OE^2 + OE^2 = 54, откуда получаем OE = AO = 3√6.

S_ABCD = 2 S_AOED = 2 27 = 54.

Ответ: площадь ромба ABCD равна 54.