Докажите что каждый катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Допустим, у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполнено следующее равенство:
c^2 = a^2 + b^2.

Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат:
c^2 = a^2 + b^2,
(c^2)^2 = (a^2 + b^2)^2,
c^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4.

Также по теореме Пифагора мы знаем, что c^2 = a^2 + b^2. Подставим это значение вместо c^2 в наше равенство:
a^2 + b^2 = a^2 + b^2,
a^4 + 2a^2b^2 + b^4 = a^2 + b^2,
a^4 + b^4 ≥ 0.

Полученное равенство показывает, что квадраты катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника неотрицательны. Следовательно, a^2 ≤ c^2 и b^2 ≤ c^2, что означает, что каждый катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы. Таким образом, утверждение доказано.