Сечением конуса плоскостью, содержащей его вершину, является прямоугольный треугольник. Оно делит боковую поверхность конуса на две части, площади которых относятся как 1:2. Радиус основания конуса равен R. Найдите объем конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть h - высота конуса, а l - образована прямой, проходящей от вершины конуса до точки пересечения с его основанием, и делит его на два треугольных конуса с площадями основ R^2 и r^2, где r - радиус основания меньшего конуса. Так как боковые поверхности конусов относятся как 1:2, то найдем r через h:

2 π R l = π R sqrt(R^2 + h^2) (площадь большего конуса)
π r sqrt(r^2 + h^2) = 1/2 π R sqrt(R^2 + h^2) (площадь меньшего конуса)

Решая систему уравнений, найдем, что r = R/2 и l = sqrt(5) * h / 2.

Теперь найдем объем конуса:

V = 1/3 π R^2 h = 1/3 π R^2 sqrt(5) h / 2 = sqrt(5) V1,

где V1 - объем меньшего конуса. Таким образом, объем конуса равен sqrt(5) раз объему меньшего конуса или 5/8 * V1.