На основаниях АВ И СD трапеции ABCD взяты точки K и L . Пусть E точка пересечения отрезков AL и DK. F- точка пересечения отрезков DL CK . Доказать что сумма площадей треугольников треугольник ADE и треугольник BCF равна площади четырехугольника EKFL

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи видно, что AB || CD и AD || BC, т.е. ABCD - трапеция.

Покажем, что FK || AB и FL || CD.

Из подобия треугольников ABC и DBC (из их общей вершины B (так как общая вершина равна смежным углам), а также того, что углы у подобных треугольников равны) следует, что AB / BC = AK / KD, то есть AB / KD = BC / AK. По теореме Талеса задача про равенство произведения сторон пропорциональности дальней и. ближней линий (отрезков) в трех линиях параллельных пересекается, можно сказать AB//KD. Аналогичное доказательство для FL и CD, FL//CD.

Теперь докажем, что EF || AB и также EF || CD, а значит EBCF-параллелограмм.

Рассмотрим подобия треугольников ADL и DCK, DL // CK, из того, что углы при параллельных прямых равны (отрезки, соответственно, параллельные, а что углы, образуемые пересекаемыми прямыми и третьей (если она параллельна) тоже равны), AD / DC = AL / FC = DL / CK. Исходя также из того, что у был найден F, то есть AL FC = AD DL. Таким образом, AMNF-параллелограмм, M и N это точки пересечния CK и BL соответственно с диагональю AC.

Площади треугольников ADDA, FDK, ABK и FLC дополняют до площади треугольника ABCD.

Таким термином площади называем области многочленов, посчитанные от одной стороны многоугольника до его диагонали, которые дополняются другими созданными параллелограмами, найденными до одной из диагоналей.

Видится, что треугольники ADE, ABC и BCF та же область, как та, что дополняет до искомого четырехугольника.