Сфера радуиса R касается граней двугранного угла, величина которого равна альфа. Определите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи обратимся к плоскости сечения двугранного угла, содержащей ребро угла. Обозначим данную плоскость через П.

Так как сфера касается граней двугранного угла, то радиус сферы, опущенный на ребро угла, будет равен расстоянию от центра сферы до плоскости П. Обозначим данное расстояние за h.

Теперь построим прямую, проходящую через центр сферы и перпендикулярную к плоскости П. Пусть точка пересечения этой прямой с плоскостью П - точка М.

Так как сфера касается граней угла, то точка М является точкой касания сферы и плоскости П. Также, так как сфера касается граней угла, то она также пересекает ребро угла в точке К.

Треугольник СМК является прямоугольным, так как отрезок КМ - перпендикуляр к плоскости П, а отрезок СК - радиус сферы, опущенный на ребро угла. Таким образом, можем записать:

СК^2 = СМ^2 + МК^2
R^2 = h^2 + (R-h)^2
R^2 = h^2 + R^2 - 2Rh + h^2

Получаем:
h^2 - 2Rh + h^2 = 0
2h(h - R) = 0

Отсюда следует, что h = 0 (не подходит, так как должно существовать расстояние от центра сферы до ребра угла), или h = R.

Итак, расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно радиусу сферы, то есть h = R.