Плоскости α и β параллельны. Точка А лежит в плоскости α, точки В и С- в плоскости β, причем АВ=8, ВС=4, ∠АСВ=90°. Продолжение биссектрисы угла С треугольника АВС пересекает плоскость α в точке L. Найдите длину отрезка СL.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим треугольник АВС и обозначим точки: А (0, 0, 0), B (8, 0, 0), C (8, 4, 0).

Так как точка L - это точка пересечения биссектрисы угла C с плоскостью α, то L будет лежать на прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной плоскости α, а значит L(8, 4, h), где h - высота от плоскости ABC до точки L.

Так как угол ∠АСВ = 90°, то треугольник АСВ прямоугольный, следовательно, он равнобедренный. Отсюда следует, что точка L лежит на медиане треугольника АСВ, а значит L будет равноудалена от отрезков AB и AC, т.е. L будет лежать на линии, проходящей через середину отрезка AB и точку C.

Найдем середину отрезка AB: M = (4, 0, 0).

Таким образом, чтобы найти высоту h, отложим радиус от точки M до точки A или B, который равен половине длины отрезка AB (т.е. 4), и найдем точку пересечения с плоскостью ABC.

Далее, найдем длину отрезка CL, который будет равен расстоянию между точками C и L:

CL = √((8-8)^2 + (4-4)^2 + (0-h)^2)
CL = √h^2
CL = |h|

Таким образом, длина отрезка СL равна модулю значения h.