В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС углы при вершинах трапеции В и С 115° и 155° соответственно. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В. и касающейся прямой CD, если известно, что AB=14, BC=10.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр окружности, проходящей через точки A и B, и касающейся прямой CD в точке M.

Так как OA и OB - радиусы окружности, то треугольник OAB является равнобедренным, так как угол OAB = угол OBA.

Из условия задачи, AB = 14, получаем, что AO = BO = 7.

Также, по построению, угол AOB = 180° - (115° + 155°) = -90°, то есть треугольник OAB является прямоугольным.

Таким образом, в треугольнике OAB прямой треугольник AOM, где M - точка касания окружности и прямой CD.

Так как угол OAM = угол OMA = 45° (так как треугольник OAB прямоугольный), то AM = OM.

Пусть AM = OM = r, тогда MO = OC - MC = (\frac{BC-AB}{2} = \frac{10-14}{2} = -2).

Используя теорему Пифагора для треугольника AOM, получаем:

((r + 7)^2 = r^2 + 4).

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получаем:

(r^2 + 14r + 49 = r^2 + 4).

Отсюда следует, что (14r + 49 = 4), откуда

(r = \frac{-45}{7}).

Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен (\frac{-45}{7}).