Найти среднюю линию трапеции, описанную около окружности, если площадь равна 312,5, а угол при основании равен 30

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения средней линии трапеции, описанной около окружности, используем следующую формулу:

[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h ]

где:
S - площадь трапеции,
a и b - основания трапеции,
h - высота трапеции.

В данном случае известно, что площадь трапеции равна 312,5.

Также известно, что угол при основании трапеции равен 30 градусов. Зная это, можем найти высоту трапеции.

[ h = R \cdot sin(\frac{\alpha}{2}) ]

где:
R - радиус описанной окружности,
(\alpha) - угол при основании трапеции.

Радиус описанной окружности равен ( \frac{b}{2sin(\frac{\alpha}{2})} ), поэтому:

[ h = \frac{b}{2sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{b}{2} ]

Теперь мы можем подставить значение радиуса в формулу для площади трапеции и решить уравнение относительно средней линии ( h = \frac{a + b}{2} ).

Итак, имеем уравнение:

[ 312.5 = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot \frac{b}{2} ]

Упростим его:

[ 625 = \frac{a + b}{4} \cdot b ]

[ 625 = \frac{a}{4} \cdot b + \frac{b^2}{4} ]

Также у нас имеется уравнение связанное с углом при основании трапеции:

[ tg(\frac{\alpha}{2}) = \frac{h}{\frac{a-b}{2}} ]

[ tg(15) = \frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{a-b}{2}} ]

[ tg(15) = \frac{a + b}{a - b} ]

[ tg(15) = \frac{h}{\frac{a-b}{2}} ]

[ tg(15) = \frac{\frac{a + b}{2}}{\frac{a-b}{2}} ]

[ tg(15) = \frac{a + b}{a - b} ]

Осталось решить полученную систему уравнений.