Пусть на плоскости с декартовой системой координат XOY дан произвольный тр-к АВС со сторонами а, b и с и углами α, β и γ. Докажите, что
а) если М - точка пересечения медиан тр-ка АВС, то
3 * vektor(OM) = vektor(OA) + vektor(OB) + vektor(OC)
б)Если I - точка пересечения биссектрис треугольника АВС, то
(a+b+c) * vektor(OI) = a * vektor(OA) + b * vektor(OB) + c * vektor(OC)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала определим координаты точек А, В, С и М. Пусть координаты точек А, В, С равны (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) соответственно. Тогда координаты точки М (середина отрезка сопряжения) равны ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3).

Теперь вычислим векторы OA, OB, OC и OM:
vektor(OA) = (x1, y1)
vektor(OB) = (x2, y2)
vektor(OC) = (x3, y3)
vektor(OM) = ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)

Теперь продемонстрируем равенство:
3 vektor(OM) = 3 ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3) =
= (x1+x2+x3, y1+y2+y3) = vektor(OA) + vektor(OB) + vektor(OC)

б) Аналогично, для начала найдем координаты точки I (точки пересечения биссектрис). Пусть координаты точки I равны (x, y).

Теперь вычислим векторы OA, OB, OC и OI:
vektor(OA) = (x1, y1)
vektor(OB) = (x2, y2)
vektor(OC) = (x3, y3)
vektor(OI) = (x, y)

Теперь продемонстрируем равенство:
(a+b+c) vektor(OI) = (a+b+c) (x, y) =
= (ax + bx + cx, ay + by + cy) = a vektor(OA) + b vektor(OB) + c * vektor(OC)

Таким образом, мы доказали оба утверждения.