Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны БЕТА. а) докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание.б) докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите их длину.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть I - центр вписанной окружности в основание пирамиды, проведем высоту пирамиды из вершины A на основание BC. Так как ABC - равнобедренный треугольник, то высота пирамиды AD проходит через середину стороны BC и также проходит через I - центр вписанной окружности.

б) Обозначим через H длину высоты пирамиды, а через l - длину проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды.

Так как угол при вершине пирамиды равен Б, а Б равны двугранные углы при основании, то треугольник ABI также является равнобедренным, где I - центр вписанной окружности, а B и A - точки пересечения этой окружности с ребрами АС и АВ соответственно. Таким образом, AI - биссектриса угла БAI.

Из подобия треугольников ABI и ABC следует, что AI/AB = BI/BC = AI/AC. Так как ABC - равнобедренный треугольник, то AI/AC = r/(a/2) = 2r/a, где r - радиус вписанной окружности.

С другой стороны, AI = H - высота пирамиды, AC = a - основание пирамиды, поэтому H/(a/2) = 2r/a => l = H/2 = r.

Таким образом, проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны r, а высота пирамиды H.